2010_数学校内竞赛试题

浏览量：1559 下载量：522 发布时间：2022-05-06

数学?贝壳资源部共23页（第1页） 2011年5月北京科技大学数学与应用数学

北京科技大学2010年数学竞赛题解

林铮远任贤峰统稿白薇贺林溪薛美美王婷校审

【说明】本卷试题仅反映2010年命题范围和难度。卷中涉及的题目及考点出现或不出现在2011年的考试，参考解答中的思路代表或不代表命题者原始意图，命题出处的引用属于或不属于最早出现试题，均以等可能性发生。全卷力求一题多解，不仅站在数学系严密的逻辑角度，还适当兼顾工科数学的技巧性。由于解答时间仓促，加上解题者水平有限，尽管请数学系的大牛们仔细校对，难免有疏漏之处，请读者不吝指正。最后的校对过程中我们也参阅了命题者胡志兴老师的讲评与解答讲义。

一、选择题

1. 设函数()f x 与()g x 均可导，且()()f x g x <，则必有（ ▲ ）

（A ）()()f x g x ''< （B ）()()f x g x ->-

（C ）()()000000lim lim x x x x x x x x f t dt g t dt x x x x →→<--?? （D ）()()00,x x

x x f t dt g t dt x

【答案】C

【解析】A 项与B 项显然能容易地举出反例。

对于D 选项，若取0x x =，则

()()00000x x x x f t dt g t dt ==?? C 项是00

不定式，利用L Hospital '法则，有()()()()001000lim 1x x x x f t dt f f x x x x x ξ→==→-?，()()()()002

000lim 1

x x x g t dt g g x x x x x ξ→==→-? 由条件()()f x g x

函数值）

当然同样可利用积分第一中值定理，

()()()()()()000010

00lim lim lim x x x x x x x x f t dt f x x f f x x x x x ζζ→→→-===--? ()()()()()()000020

00lim lim lim x x x x x x x x g t dt g x x g g x x x x x ζζ→→→-===--?

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共23页（第2页） 2011年5月

2. 设函数()f x 满足：对任意x ∈ ，()()2f x f x =+，()1

f =

，又在()1,1-有()f x x '=，则72f ??

= ???（ ▲ ）（A ）

12 （B ）

（C ）1

（D ）0

【考点】函数周期性【答案】D

【解析】()()22f x f x T =+?=的周期函数

又()[)(]

(),0,11,08,1,0x x f x f x x ?∈?'==??-∈-??()[)(]2

211,0,18211,1,082

x x f x x x ?+∈??=??-∈-??

则2

71111140222822f f f ??

??????

-+=-=-?= ? ? ? ?????????

3. 下列广义积分收敛的有（ ▲ ）

（A ）

201dx x

+∞

（B

）

0+∞

（C ）1

11dx x

-? （D ）

1dx x +∞

-∞+?

【考点】考查反常积分收敛。【答案】D 【解析】（C ）项为定积分，排除。对（A ）选项，0是它的瑕点，+∞是其无穷点。

111222220

0110011

111111lim lim lim lim v v u v v u u u dx dx dx dx dx x x x x x x x +++∞

+∞→+∞→+∞→→????=+=+=-+- ? ? ? ?????

???? 01

1lim(1)lim 1v u u

v +

→+∞→??=-+-=∞ ???

对（B

）选项，

+∞

+∞=+?

??，同理它也发散；

对（D ）选项，0022222

0011111lim lim 11111v u u v dx dx dx dx dx x x x x x +∞

+∞-∞-∞→-∞→+∞=+=++++++????? ()()lim arctan 0arctan lim arctan arctan 02

u v u v π

π→-∞

→+∞

-+-=

（A ）、（B ）、（D ）均为最简单的反常积分，大多出自课本例题和习题，例如（D ）的积分出自

数学?贝壳资源部共23页（第3页） 2011年5月数学分析上册（第三版），高等教育出版社，P267，例题4.

4. 在[]0,π

上方程3sin cos x x a a ?=> ??

的实根个数为（ ▲ ）（A ）0 （B ）1

（C ）2

（D ）3 【考点】函数方程的根

【答案】A

【解析】此题不严密。用极端排除法，取2a =，则显然没有实根。

此题的严密解法如下：

令()[]3

sin cos ,0,f x x x x π=∈ ()()

32sin cos sin 1cos cos f x x x x x x ==- 11cos 211sin 21sin 2sin 4224

8x x x x +??=-=- ??? ()1150cos 2cos 40cos 2cos 40,,,2236f x x x x x x πππ'=?

-=?=?= 因为给定为闭区间，只需考察稳定点和端点的值就可以算出最值：

()00f =，()0f π=

，3f π??= ???

，56f π??= ???

显然最大值为16

，故与直线y a a ?=> ??

无交点.

5. 如果级数1n n a

∞=∑收敛，级数1n n b ∞=∑绝对收敛，则1n n n a b ∞=∑（ ▲ ）

（A ）条件收敛

（B ）绝对收敛（C ）发散

（D ）不确定【考点】级数收敛的条件

【答案】B

【解析】1n n a

∞=∑收敛，则必有lim n n a →∞

=0 这就是说()01,0,..,1n N s t n N a εεε?>=?>><=，记{}12max ,,,,1N M a a a =… 即n a M ≤.

这样我们很容易能证得1n n n a b

∞=∑绝对收敛.

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共23页（第4页） 2011年5月

n b

∞

=∑绝对收敛，则0,0,..,0,N s t m N p ε?>?>>?>使得

12m m m p b b b ε++++++<… 则对上述的ε与m ，有

()

112212m m m m m p m p m m m p a b a b a b M b b b M ε++++++++++++<+++<…….

即

n n

n a b

∞

=∑绝对收敛

此外，若用比较判别法，有lim

lim 0n n n n n n

a b a b →∞

→∞

==，且1

n n b ∞=∑收敛，则知道1

n n n a b ∞=∑收敛，即1

n n n a b ∞

=∑绝对收敛

6. 若()

lim

20101n n n n α

→+∞

=--，则（ ▲ ）

（A ）20091

,;20102010αβ=

= （B ）20091

,;20102010αβ=-

= （C ）20091

,;20102010

αβ=

=- （D ）20091

,;20102010

αβ=-

=- 【考点】数列极限，等价代换。

【答案】B

【解析】这道题是选择题部分之中最精彩，也是最富有技巧性的题。该类型题最早出现在1976年俄罗

斯数学竞赛中。以下是其基本解法： ()

lim

1111111n n n n n n n n n n n α

αβ

-→+∞

→+∞

==????--????---- ? ? ?

? ? ?????

利用等价代换111n n β

β??

-- ???

（*）

()

lim

1n n n n n n n n n n

ααββ

-+→+∞

→+∞

==--，从选项可知β为常数，这样必须要求1

αβ-+

也为常数，若不然则不可能得到收敛值2010，又因n →+∞，则011αβ≤-+<。

若10αβ-+≠，则1

αβ+-→，与()

lim

20101n n n n α

→+∞

=--矛盾；

故10αβ-+=，这时

120102010

ββ

=?=

，因此2009

2010α=-。

数学?贝壳资源部共23页（第5页） 2011年5月值得指出的是（*）成立的原因（非数学专业的同学可不参阅）：

这个等式出自卓里奇《数学分析》第一卷，P126 例题40：

证明当0x →时，()()11x x o x α

α+=++ 援引其证明过程：当0α≠时，

()()()()()ln 1000011ln 1ln 111lim lim lim lim ln 1x t x x t x x x x e e x x x t x

αααααα+→→→→+-++--===+ ；当0α=时，结论显然成立；

于是当0x →时，()11x x α

α+- ；令1,x n αβ==-，则111n n ββ??--- ???

，也即111n n β

β??-- ??? 补注：由于数列是离散的，必须明确上面公式的运用是在函数条件下，Henie 归结原理保证了它在数列极限时的正确性。

事实上，在解题时我的直觉是可以反向利用.O Stolz 定理。

在菲赫金戈尔茨《微积分学教程》，第一卷中有这样一个例子：考察112k k k

n k n z n

++++=…，显然它是∞∞不定式. 倘若令112,k k k k n n x n y n +=+++=…，应用.O Stolz 定理，便有

()11lim lim 1k n k k n n n z n n ++→∞→∞=--

这个形式已经与题目给出的()lim 1n n n n α

ββ→+∞--已经很为接近！如果我们能将k 的取值由正整

数推广至有理数，那么这个结论可以直接用来解题。数学系的同学可以尝试一下。

倘若能推广，我们知道()

()1111k k k n n k n ++-=-++… 这样()()1111k k k n n k n ++--=++…

由多项式数列极限知，()111lim lim 1

1k n k k n n n z k n n ++→∞→∞==+-- 于是由12009120102010k α==

-=-，112010

k β+== 7. 设()()02

,00,0

x tf t dt x F x x x ??≠=??=??，其中()f x 具有连续的导数且()00f =，则()F x '在0x =处（ ▲ ）

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共23页（第6页） 2011年5月

（A ）连续（B ）不连续（C ）可导

（D ）不确定

【考点】导函数的解析性质【答案】D

【解析】根据导数定义有

()()()()()0

00000lim

lim 0x

x x tf t dt F x F F xf x x x

??→?→+?-'===??=???

（倒数第二个等号利用L Hospital '法则）

故()()()0

2,00,0

x tf t dt xf x x F x x x x ??-≠'=??

=?? 再求其连续性，可导性：

()()()

()

()()

()

()()

22lim 0lim

lim

x x x tf t dt

tf t dt

xf x f x F x F x

x x x ???→?→?→???''?-=-

=-??????

连续两次L Hospital '法则，

()()0

lim 0x F x F ?→''?-()()()

()()

022lim

lim 1133x x f x xf x f x f x x ?→?→'''?????=-=-? 因()f x 具有连续的导数，则()()0

lim 0x f x f ?→''?= 则()()()0

lim 003

x F x F f ?→'''?-=

，因()0f '的值不知，若()00f '=，则连续；若()00f '≠，则不连续. 这样可导性更加难以确定.

注：当时阅卷时候的答案是A ，笔者估计可能考虑的是()F x 在0x =处的连续性。正确答案应该为D.

8. 设∑是曲面()()()22

211072516

x y z z ---=+

≥的上侧，则曲面积分I ∑

（ ▲ ）

（A ）2π- （B ）0 （C ）2π

（D ）π

【考点】第二类曲面积分和Gauss 公式【答案】C

【解析】这道题由经典的一道分析题演变而来。计算难度不大，关键在于对Gauss 公式成立条件的把

握。最早出现在西北大学的考研题中。解答如下：

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===

，其中r = ()0,,,0P Q R x y z x y z

???++=≠???，注意在原点处函数不可导。要利用Gauss 公式，根据条件，必须是封闭曲面。因此我们需要构造一个不包含原点的下曲

面，合同曲面构成一个封闭曲面，这样才能使用Gauss 公式。

构造1-∑以原点为球心，半径为r （r 足够小，使之包含在∑曲面内）的上半球面（内法线方

向），2-∑是平面xOy 上区域（法向量向下）()()()2222221,:,12516x y x y x y r ??--??+≥+≤??????

，又记Ω为∑与1-∑、2-

∑所围立体，则由

Gauss 公式知

1200I dxdydz --Ω

∑∑∑=

==????? .

由此得

12120I I I --∑∑?? =-+=-- ??? 注意到2-

∑上0,0z dz ==，故有10I =，从而有1

231I I xdydz ydzdx zdxdy r +∑=-=

++??. （2+

∑表示外法线的上半球面）

再添平面xOy 上区域2223:x y r -∑+≤，并记1+∑与3-∑围成的半球体为Ω ，则 133

31{}I xdydz ydzdx zdxdy r +--∑∑∑=-++???? 333131430223dxdydz r r r ππΩ??=+== ??????

. 本题容易错选B 。这是因为没有考虑到在点()(),,0,0,0x y z =处不可微，这样与Gauss 公式

要求的封闭曲面中函数一阶偏导连续矛盾.

9. 设函数()f u 具有二阶连续导数，函数()sin x z f e y =满足方程22222x z z ze x y ??+=??，()00f =，()01f '=，则()f u =（ ▲ ）

数学?贝壳资源部共23页（第8页） 2011年5月（A ）()()112

u u f u e e -=

-+ （B ）()()12u u f u e e -=

- （C ）()()112u u f u e e -=-- （D ）()()12u u f u e e -=- 【考点】复合函数求导和二阶常系数微分方程求解

【答案】D 【解析】本题不严密。运用排除法，根据条件()00f =和()01f '=就能判断出答案。

数学系同学请按如下思路解题：

因()()

sin x z f u f e y == 有()sin x z dz u f u e y x du x ??'==??，()cos x z dz u f u e y y du y

??'==?? 进一步()()2222sin sin x x z f u e y f u e y x ?'''=+?，()()22cos sin x x z f u e y f u e y y

?'''=-? 代入22222x z z ze x y

??+=??，有 ()()22x x f u e f u e z z ''''=?=

这是二阶常系数微分方程，它又形如u z e λ=的解，再回代如上面的微分方程，得到它的特征

根方程：

2101λλ-=?=±

其通解为12u u z c e c e -=+

利用条件()00f =和()01f '=就能得到12,c c 的解，得()()12u u f u e e -=

10.

1n ∞==∑（ ▲ ）

（A

）1（B

）1（C ）0

（D

1 【考点】考查数项级数求和

【答案】A

【解析】本题出自吉米多维奇习题集第2552题，主要用到裂项相消的技巧，难度不大。

因

有1n n k S ==

∑

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????=-+-+????…

??+-??

故有lim 1n n S →∞

二、填空题

极限lim n n

→∞=（ ▲ ）【考点】数列极限，定积分的性质，分部积分法

【答案】1e -

【解析】本题出自吉米多维奇习题集第2225题，利用定积分的性质求解数列极限

11121lim ln ln ln lim ln n n n n k n k n n n n n n →∞→∞→∞=??=+++= ???∑ (11100)

0ln ln 11xdx x x dx ==-=-?? 故原式等于1e - 2. 设函数()f x 在点a 的某邻域可导，且()0f a ≠，则极限()1lim n n f a n f a →∞????+ ? ??? ?= ? ???

（ ▲ ）【考点】Taylor 公式求极限

【答案】()

()f a f a e '

【解析】本题曾被北京大学，清华大学等用来作为考研题，主要应用了Taylor 展开式求极限。由条件()f x 在();U a δ内可导，则根据Taylor 展开式

()()111f a f a f a n n n ο?

???'+=++ ? ?????

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?? ()()()()()()()()1lim 1nf a f a f a f a f a f a n f a f a e n '''→∞'?? ? ?=+= ? ???

3. 极限()40cos sin cos lim sin x x x x

→-=（ ▲ ）【考点】利用Taylor 展开式求极限【答案】16

【解析】（适用工科学生）利用等价代换与和差化积

()444400sin sin 2sin sin cos sin cos 22lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x

→→+--=

0sin sin sin sin sin sin 222lim sin sin 22

x x x x x x x x x x x x x x x →++--=+- 20001cos sin cos 1lim lim lim 3666x x x x x x x x →→→-==== 最后三个等号连续使用了三次L Hospital '法则.

（又解）本题的函数解析式有点复杂，若采用L Hospital '法则求解需要多步才能消去，改用

Taylor 公式求解。需要指出Taylor 公式是求解函数极限最有力也是万能的工具。

写出sin ,cos x x 的Taylor 展开式

()()()32112sin 13!21!

n n n x x x x x n ο--=-++-+-… ()()24221cos 112!4!2!

n n n x x x x x n ο+=-+++-+… 故有()40cos sin cos lim sin x x x x

→-

数学?贝壳资源部共23页（第11页） 2011年5月 ()()2246374

0sin 1sin 12!2!4!6!lim x x x x x x x x οο→????-+--+-+ ???????= ()()2324667401112!3!2!4!6!lim x x x x x x x x x

οο→??????--+--+-+?? ? ?????????= ()46

640312436

lim 8

x x x x x ο→++== 为什么结果不一样？到底是哪个运算出了问题？这也是困扰笔者很久的一个问题。经过MA TLAB 验算答案为16

，那么第二种所谓的万能解法中到底存在什么错误呢？请读者注意第一个等号后的式子，我们对()cos sin x 的展开只到了()()33sin x x οο ，而

分母的阶为4，即使我们再对sin x 展开，使得分子左半部分的阶到了()

6x ο，依然是不合理的。这就是为什么出现错误的原因！所以对()cos sin x 的展开应再多一项，使阶到达()5sin x ο高于分母的阶.

()40cos sin cos lim sin x x x x →-()()2424554

0sin sin 1sin 12!4!2!4!lim x x x x x x x x οο→????-+--++ ???????= ()()424241254011112!3242!4!lim x x x x x x x x x

οο→??????--++--++?? ? ???????= ()4

64016lim 6

x x x x ο→+== 此外，这道题目常会出现的错误是不合理地利用等价代换，致使无法求出正确的极限值。

4. 积分2

0ln 1x dx x +∞

=+?（ ▲ ）【考点】广义积分的计算

【答案】0

【解析】本题是填空题中相对有难度的题目，主要原因在于给出的积分是带瑕点的在无穷区间上的反

常积分，难以计算。

首先因22ln ln 1x x x x

≤+，则反常积分20ln 1x dx x +∞+?必收敛，所以能求值。（一解）令1x t

=，则(),0t ∈+∞，作变换有，

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数学竞赛题解

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共23页（第12页） 2011年5月

()12

0001

222220

1ln ln 1ln 1ln 1111x t t t t dxx t d dt dt x t t t t t -+∞

-+∞+∞+∞-????==--= ? ?+++??

??+?

??? 则

ln 01x

dx x

+∞

=+?

当然这种写法有点不妥当，更为准确的表达方式为：

220

01ln ln ln 111x

x x dx dx dx x x x +∞

+∞=++++?

（二解）令tan x t =，则0,

2t π?

∈ ??

，作变换有

()2

2222220

000ln ln tan ln tan tan tan sec ln tan 11tan sec x t t dxx t d t tdt tdt x

t t πππ

+∞

===++?

??? 22

ln tan ln sin ln cos tdt tdt tdt π

ππ=-?

这个积分式也为0，这是因为若令2

t π

-，则

022

22ln cos ln cos lnsin lnsin 22tdt t d t tdt tdt π

ππππ????=--=-= ? ?????????

事实上

ln sin tdt π

被称为Euler 积分，我们可以求出它的具体值如下：

先做代换2x t =，得到4440

2ln sin 2ln 22ln sin 2ln cos 2

I tdt tdt tdt π

πππ

++?

??.

对最后一个积分用代换2

t u π

-，得到

420

ln 22ln sin 2ln sin 2

I tdt udu π

ππ

++??

l n 22l n s i n l n 222

2tdt I π

=+=

+?l n 22

I π

?=-

5. 设()f x 在()0,+∞内连续，()13f =，且对任意(),0,x t ∈+∞满足

()()()1

x t

f u du t f u du x f u du =+?

??，

则()f x =（ ▲ ）

【考点】变上限积分和常微分方程的求解【答案】3ln 3y x =+

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f u du t f u du x f u du =+???两边求关于t 的导数得到()()()1x

xf xt f u du t xf t =++?，利用已知条件()13f =，在上式中令1t =，则有()()113x

xf x f u du x =++?. 现在求关于x 的导数，显然有()()()()33f x xf x f x xf x ''+=+?= 利用变量分离，有()30dy x dx x =>()303ln dy dx x y x C x

?=>?=+ 最后利用()13f =得出3C =.

原方程的解为3ln 3y x =+.

6. 设()f x 在[)0,+∞内可导，

()()00,03x x x f u du f u du x =>??，则()f x =（ ▲ ）【考点】常微分方程

【答案】()23C

y x =-（C 为任意常数）

【解析】对方程两边求导，有()()()0133

x x f x f u du f x =+? 再次求导，()()()()11333x f x f x f x f x ''=++，也即()32dy x y dx

-=. 当3x ≠时，

123dy dx y x =-()ln 2ln 3y x C ?=--+()

23C y x ?=-（0C ≠，且为任意常数）当3x =时，有0y =.包含在0C =的情形中.

综上所述，()23C y x =

-（C 为任意常数）

7. 无穷级数()()

()234112132431n n x x x x x n n -+-+-+

【答案】()()1ln 1x x x ++-

【解析】记部分和()()()

23412132431n n n x x x x S x n n =-+-+-???-… ()()()

111112132431n n S x n n ≤-+-+-??- …

数学?贝壳资源部共23页（第14页） 2011年5月 ()

1111++2132431n n ≤++??- … 111n =-

< 由部分和有界，故原级数收敛.（它的收敛性的判别也可直接利用Leibniz 交错级数判别法）应用收敛级数的性质，记()()()2

12132431n

n x x x x S x n n =-+-+-+???-……

则()()23

1231n n x x x

S x x n -'=-+++-+-……

由幂级数的Taylor 展开式()()23

ln 11231n n x x x x x n -

+=-+++-+-……

即()()ln 1S x x '=+

则()()()111ln 1ln 11x

x x x S x x dx x x dx x =+=+-+??

()()()()()ln 1ln 11ln 1x x x x x x x =+--+=++-

8. 函数项级数()2

11n

n n x p p

∞=>∑的收敛范围是（ ▲ ）

【考点】幂级数收敛范围的判定

【答案】[]1,1-

【解析】利用Cauchy Hadamard -定理

n x p ρ==0,1

,1,1

x x p

x ??

则()2

11n

n n x p p

∞=>∑在[]1,1-上收敛

9. 直线1:101x

y z

L -==-在平面:20x y z π++=上投影的直线方程为（ ▲ ）

【考点】平面直线与平面关系

【答案】33

20x y z x y z -+=-??++=?

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共23页（第15页）

2011年5月

【解析】显然直线L 过()0,1,0P ，方向向量为()1,0,1m =- ，平面π的法向量()1,1,2n =

联立110120

x y z

x y z -?=

=?-??++=?，解的直线与平面的交点为()1,1,1Q -.

利用m n ? 求出一个与,m n 都垂直的向量，即()10

11,3,1112

m n ?=-=-i j k

则过点()1,1,1Q -且以m n ?

为法向量的平面为 ()()()()113111033x y z x y z -+--++=?-+=-

则所求直线为33

20x y z x y z -+=-??++=?

本题的解法很多，在此仅举一例。

10. 设()()1

,u x y f t xy t dt =

，其中f 在[]0,1上连续，[],0,1x y ∈，则22u

?=?（ ▲ ）

【考点】变上限积分，复合函数求导法则【答案】()2

2y f xy

【解析】去绝对值是本题的关键，可利用积分上下限来去掉绝对值. ()()()()()()11

,xy

u x y f t xy t dt f t xy t dt f t t xy dt =

-=-+-??

()()()()()()11

xy tf t dt f t xy dt xy f t dt tf t dt =-

+-+?

()()()()()()()()()()10xy xy u

y xy f xy y f t dt xy yf xy xy yf xy y f t dt y xy f xy x

=-+++--???

()()0

f t dt y f t dt =+?

()22

22u y f xy x

??=?

11. 设(),u x y 的所有二阶偏导数都连续，()()222

220,,2,,2x u u u x x x u x x x x y

??'-===??则(),2xy u x x ''=

（ ▲ ）；(),2yy u x x ''=（ ▲ ）【考点】复合函数求导【答案】

x ；43x

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共23页（第16页） 2011年5月

【解析】对(),2u x x x =两边关于x 求导得到()(),22,21x y u x x u x x +=，又已知()2,2x u x x x =，则 ()22,21y x u x x +=

两边进一步对x 求导，得()()22,24,20yx yy x u x x u x x ++=；（1）

对已知等式()2,2x u x x x =两边关于x 求导，()(),22,22xx xy u x x u x x x +=（2）

由二阶偏导数都连续推得22u u x y y x ??=

????，利用22220u u x y

??-=??，联立（1），（2）式，解之得 ()()()()54,2,2,,2,233

yx xy yy xx x x u x x u x x u x x u x x ====-

12. 函数()2

,4f x y x xy y =++在圆域221x y +≤上的最大值为（ ▲ ），最小值为（ ▲ ）

【考点】二元函数最值问题

【答案】4， -4

【解析】求闭区域上二元函数的最值，不仅要考虑其极值点，也要考虑其区域边界点的值.

先求其稳定点，有2

220x y f y f xy y ?=+=??=+=??，显然不存在稳定点，则最值必在边界取到.

由221y x =-，得到()()()()

2232

,41151g x f x y x x x x x x x ==+-+-=--++

令()2

3250g x x x '=--+=

()()535101,,3

x x x or x ?+-=?==-（舍去）

根据g '的符号，可知()g x 在[]1,1-上，在1x =-处达到最小值，在1x =处取到最大值. ()max 1,04f f ==，()min 1,04f f =-=-. 13.

设

（ ▲ ）

【考点】定积分的计算

【答案】【解析】定积分的计算具有诸多技巧，有时候要通过变量代换、

2220

0π

π==?

220

0sin cos 22

24x x

x dx dx π

ππ??

+=- ???

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数学竞赛题解

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共23页（第17页） 2011年5月

32230

2424x x dx dx πππ

ππ????

--- ? ??????

223002sin sin 2424x x πππ

ππ??????

=---= ? ???????

（又解）令t =，则(

)

arcsin 1,x t dx =-=

因此

22C C ===-=-

这就是说

的原函数为C -

则

220

322

230

πππ=

++?

=-+-=

在解题过程中，我们曾得到一个错误的解法：

倘若直接

0ππ

=-=?

这是因为(

)

读者应当小心注意定积分与不定积分之间的联系与区别。

14. 设Ω是由2

,0,1,2,3,4z x y z xy xy y x y x =+=====围成的区域，则积分

xydxdydz Ω

=???（ ▲ ）

【考点】三重积分的变换与计算【答案】

【解析】求三重积分的主要方法有投影法和截面积法，作变量代换应考虑使得积分区间和被积函数化

简，当不能两全时应考虑复杂的那一个。本题适合采用投影法，显然Ω在xOy 平面上的投影为1,2,3,4xy xy y x y x ====围成的积

分区间.

()22

220

x y D

xydxdydz xydxdy dz xy x y dxdy +Ω

==+??????

数学?贝壳资源部共23页（第18页） 2011年5月其中(){}

:,1,2,3,4D x y xy xy y x y x ==== 现考虑二重积分，作变换u xy y v x =???=??，()[][]{}

:,1,2,3,4S u v u v ∈∈ ()()12,221,y x u v y J v y x y x x

x -?====?-12J v ?= ()24222213111122D S

u xy x y dxdy u uv dudv u du dv v v v ????+=+=+ ? ??????????? 2431311117139123231272u v v ????=-== ? ? ? ??

???

15. 已知三个向量,,a b c 满足1,2,3a b c === ，且0a b c ++= ，则a b b c c a ++=

（ ▲ ）【考点】向量基本运算

【答案】7-

【解析】由0a b c ++= ，得()2222+22+20a b c a b c a b a c b c ++=+++=

而已知1,2,3a b c === ，则()

22222+2+14a b a c b c a b c +=-+=- 故7a b b c c a ++=-

16. 函数()222

,,f x y z x y z =++在椭球面222

2222x y z a b c ++=上的点()000,,P x y z 处沿外法线方向的方向导数为（ ▲ ）

【考点】方向导数的概念与性质

【答案】4l l ? = ? 【解析】根据已知()222

222

,,222x y z def x y z a b c ?=++. 对?求,,x y z 的偏导数，222

,,x y z x y z a b c ???===，则在点()000,,P x y z 处沿外法线方向向量为000222,,x y z a b c ?? ???

，单位化为l = 000222cos ,cos ,cos x y z la lb lc

αβγ===

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共23页（第19页） 2011年5月

求的偏导数有2,2,2x y z f x f y f z === 按公式()0

222

00000000022222224

2,2,2,,x x y z x y z gradf x y z la lb lc l a b c l

????==++= ? ?????

17. 设(){},1D x y x y =

+≤

，则22

I ==（ ▲ ）

【考点】二重积分的变换与计算【答案】0 【解析】作变换u x y

v x y

=+??

=-?，则[][]1,1,1,1u v ∈-∈-

故得 12u u x

y J v v

-????=

=-????，即12J =

22111102D

S I vdv --=

===??

对数学系的同学要求直接从

与2

为轮换式看出二重积分

为0.

18. 设L +

是从(),0,0A a 经()0,,0B a 到()0,0,C a 再回到(),0,0A a 的三角形，则曲线积分

()()()L I z y dx x z dy y x dz +

=-+-+-=? （ ▲ ）

【考点】第二型曲线积分和Stokes 公式【答案】2

【解析】画图就能判断L +

为正方向，记()()(),,,,,,,,P x y z z y Q x y z x z R x y z y x =-=-=-

由Stokes 公式

L dxdy dydz dzdx

Pdx Qdy Rdz x y z P Q R

∑

???

++=????

有

222xy yz zx L S S S dxdy dydz

dzdx Pdx Qdy Rdz dxdy dydz dzdx x y z z y x z

y x

∑

???

++==++???---?

??????

数学?贝壳资源部共23页（第20页） 2011年5月 22221112+32

22a a a a ??=+= ??? 数学系的同学还可以利用Stokes 公式的另一种形式

cos cos cos L Pdx Qdy Rdz dS x y z P Q R

βγ+∑

???++=?????? 对于平面x y z a ++=

，可求得cos α=

，cos β=

，cos γ=

则

)22133322L Pdx Qdy Rdz a +∑++===?

19. 设()()1ln ,0,1x

u f x du x u =∈+∞+?，则()1f x f x ??+= ???

（ ▲ ）【考点】变上限积分的性质与运算【答案】()21ln 2

x 【解析】()1ln 1x

u f x du u

=+? 令1x t

=，则11111111ln ln 1ln 1ln 11111t t x x u t t u f du d dtdef du x u t t t t u u --????=== ? ?++++???????? ()()()2211111ln ln 1ln 11ln ln 1122x

x x x u u u f x f du du du u x x u u u u ??+=+=== ?++?????

20. 设()0f x >，f 连续可微，()11f =，且在右半平面内沿任一分段光滑封闭曲线l 的积分有

()()ln 0x l y ye f x dx f x dy x ??--=???

?? ，则()f x =（ ▲ ）【考点】Green 公式与常微分方程求解【答案】1

x x x y xe e =-+ 【解析】取右半平面内沿任一分段光滑封闭曲线l ，记曲线l 围成的封闭图形面积为D .

同时记()()()(),,,ln x

y P x y ye f x Q x y f x x

=-=- 则利用Green 公式，有

数学?贝壳资源部共23页（第21页） 2011年5月 ()()()()()1ln 0x x l D D f x y Q P ye f x dx f x dy dxdy e f x dxdy x x y f x x ??'??????--=-=--+= ??? ? ????

?????????? 即()()()10x f x e f x f x x

'--+= 以下有两种解题法：

（适用理工科学生）

整理()()()1x f x e f x f x x

'+=得到()()()2x xf x xe f x f x '+=，所以 ()()()2x f x xf x xe f x -=，显然()x x xe f x '??= ? ???

，则()x x dx xe dx f x '??= ? ????? ()()x x x x x x xe e C f x f x xe e C

?=-+?=-+ 利用条件()11f =，则1C =

即()1

x x x f x xe e =-+. 我得说一句实话，上面那个变形我一开始还真没有看出来，当时的思路是既然是微分方程了

那就直接解微分方程吧。

（适用数学系学生）

21x dy y e y dx x ??+-=- ???

，记()()1,x p x q x e x -=-=-，显然这是一个2n =的Bernoulli 方程. 两边同时乘以()21n n y

y ---=-，则211x dy y y e dx x ---+= 引入变换1z y -=，上式变为1x dz z e dx x

+=. 显然这是一个非齐次一阶线性方程. 先考虑它的齐次一阶线性方程

10dz z dx x += 分离变量得到11ln ln dz c dx z x c z z x x

=-?=-+?= 下面可以利用常数变易法或者积分因子法去求非齐次线性方程的解，这里采用积分因子法，

直接使用通解公式()()()P x dx P x dx z e C Q x e dx -????=+ ????（这里()()1,x P x Q x e x

==）有()

()11x x x z C xe dx C xe e x x =+=+-? 也即

()11x x C xe e y x

=+-，利用()11f =，定出1C =，整理后得到1x x x y xe e =-+

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2010_数学校内竞赛试题

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