绝密★启用前
广东省揭阳市2021届高三上学期期末学业水平调研
数学（文）试题
本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回．
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.
2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.
3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{1,0,1,2,3}A =-，{1,1}B =-，则
A B = A ．{1,2}
B ．{0,1,2}
C ．{0,2,3}
D ．{0,1,2,3} 2．复数221z i i =
++-的虚部是 A ．3 B ．2 C ．2i D ．3i
3．“0a b ?≥”是“a 与b 的夹角为锐角”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．已知函数2()2x a f x -=，1(3)4f =，则(2)f = A ．1 B ．18- C ．12
D ．18 5.记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知132,6S S =-=-，且公比1q ≠，则3a = A ．-2 B ．2 C ．-8 D ．-2或-8
6. 若点(2,22)A 在抛物线2:2C y px =上，记抛物线C 的焦点为F ，则直线AF 的斜率为
A ．24
B ．423
C ．22．223 7. 已知[0,]x π∈，且3sin 1sin 2x x =+tan 2
x = A ．12- B ．12 C ．43
D ．2 8. 右图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．
则下列结论中表述不正确．．．
的是 A.从2000年至2016年，该地区环境基础
设施投资额逐年增加；
B.2011年该地区环境基础设施的投资额比 2000年至2004年的投资总额还多；
C.2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；
D.为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型?9917.5y
t =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元. 9.函数1
()ln ||f x x =+
的图象大致为
10．若,x y 满足约束条件10
2100
x y x y x --≤??
-+≥??≥?
，则2x z y =-+的最小值为
A ． -1
B ．-2
C ．1
D ． 2
11．某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，
则该几何体侧面积的最大值为 A ．π
B ．2π
C ．4π
D ．16π
12．已知函数312
()423x x f x x x e e
=
-+-，其中e 是自然对数的底， 若2
(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是
A ．(,1]-∞-
B ．1[,)2+∞
C ．1
(1,)2
-
D ．1
[1,]2
-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量(1,)a x =、(1,2)b =--，若a b ⊥，则||a = _____；
14．已知双曲线22
221x y a b
-=(0,0)a b >>的一条渐近线方程为3y x =，
则该双曲线的离心率为____；
15. 如图，圆柱O 1 O 2 内接于球O ，且圆柱的高等于球O 的半径，则从
球O 内任取一点，此点取自圆柱O 1 O 2 的概率为 ；
1 1
-1
-1 x
y 1 1 -1
-1 x
y 1 1 -1
-1
x
y 1 1 -1
-1 x
y
O
H
C
B
A
P
16. 已知数列{}n a 满足11
9
a =-
，181n n n a a a +=
+()n N *∈，则数列{}n a 中最大项的值为 . 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考
题，每个试题考生都必须做答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分
17.（12分）
在ABC ?中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且2sin cos sin 0a B A b A -=， （1）求A ；
（2
）当函数()sin )6
f x B C π
=-
取得最大值时，试判断ABC ?的形状．
18.（12分）
如图，在三棱锥P-ABC 中，正三角形PAC 所在平面与等腰三角形 ABC 所在平面互相垂直，AB ＝BC ，O 是AC 中点，OH ⊥PC 于H . （1）证明：PC ⊥平面BOH ；
（2
）若OH OB ==，求三棱锥A-BOH 的体积．
19.（12分）
某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)
（1）用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间（精确到0.1），并据此判断哪种培训方式效率更高？
（2）在甲乙两组中，从第三周．．．培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率. 20.（12分）
设椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的右顶点为A ，下顶点为B ，过A 、O 、B （O 为坐标原点）三点的圆的圆
心坐标为1)2
-． （1）求椭圆的方程；
（2）已知点M 在x 轴正半轴上，过点B 作BM 的垂线与椭圆交于另一点N ，若∠BMN =60°，求点M 的坐标．
21.（12分）
已知函数()()2
1322
x
f x x e x x =--
+.
（1）求函数()f x 的单调递减区间；
（2）求实数a 的值，使得2x =是函数()()3213
g x f x ax ax =+-唯一的极值点． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22. [选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）
已知曲线C 的参数方程为22x t y t
=??=?，（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线1l 、2l 相互垂直，与曲线C 分别相交于A 、B 两点（不同于点O ），且1l 的倾斜角为锐角α.
（1）求曲线C 和射线2l 的极坐标方程；
（2）求△OAB 的面积的最小值，并求此时α的值．
23. [选修4-5：不等式选讲] (10分）
已知函数()|2||2|f x x a x =--+.
（1）当2a =时，求不等式()2f x <>
（2）当[2,2]x ∈-时，不等式()f x x ≥恒成立，求a 的取值范围．
广东省揭阳市2021届高三上学期期末学业水平调研
数学（文）试题参考答案
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．
解析：
11. 三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为r ，母线的长为l ，则2284r l r l +=?+=， S 侧=2
(
)42
r l rl πππ+≤=（当且仅当r l =时“=”成立） 12. 由222'()42240x x f x x e e x x -=-++≥-+=≥，知()f x 在R 上单调递增，
且3
1()422()3
x x f x x x e e f x --=-
++-=-
，即函数()f x 为奇函数， 故2(1)(2)0f a f a -+≤2
(1)(2)f a f a ?-≤-212a a ?-≤-2
210a a ?+-≤，
解得112
a -≤≤
. 二、填空题
解析：16. 由181n n n a a +=+得
18n n n n a a a +==+18n n
a a +?-=， 即数列1{}n a 是公差为8的等差数列，故111(1)8817n n n a a =+-?=-，所以1
817
n a n =-，
当1,2n =时0n a <；当3n ≥时，0n a >，数列{}n a 递减，故最大项的值为31
7
a =.
三、解答题
17.解：（1）由正弦定理
sin sin a b
A B
=得sin sin 0a B b A =≠，------------------2分 又2sin cos sin 0a B A b A -=,
O H C A P
∴2cos 1A =,即1cos 2A =
，---------------------------4分 ∵0A π<< ∴3A π=
.---------------------------------6分 （2）解法一：∵3A π
= ∴23C B π=-,从而62
C B ππ-=-， -------------7分
∴()sin sin()2f x B B π
=
-sin B B =+----------------------8分
12(sin cos )22B B =+2sin()3
B π=+--------------10分 ∵33B π
π
π<+<,∴当6B π
=时，函数()f x 取得最大值， 这时632C ππππ=-
-=,即ABC ?是直角三角形. -----------------12分 【解法二：∵3A π= ∴23
B C π=-, --------------------7分
∴2()sin(
))36
f x C C ππ=-+-
11sin cos )22
C C C C =++- 2sin C =------------------------------------------10分 ∵203C π<<,∴当2
C π=时，函数()f x 取得最大值， ∴ABC ?是直角三角形.------------------- -------------12分】 18.解：（1）∵AB ＝BC ，O 是AC 中点，
∴ BO ⊥AC ， -----------------------1分
又平面PAC ⊥平面ABC ，
且BO ?平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC ＝AC ，
∴ BO ⊥平面PAC ，-----------------------3分
∴ BO ⊥PC ，-------------------------------------4分 又OH ⊥PC ，BO ∩OH ＝O ，
∴ PC ⊥平面BOH ；--------------------6分
（2）解法1：∵△HAO 与△HOC 面积相等，
∴A BOH B HAO B HOC V V V ---==, ∵BO ⊥平面PAC , ∴13
B HO
C OHC V S OB -?=
?, --------------------8分
∵OH =,∠HOC=30° ∴1HC =,
∴12OHC S CH OH ?=?=,--------------------------------10分
∴11322B OCH V -=?=,即12
A BOH V -=.------------------------12分 【其它解法请参照给分】
19.解:（1）设甲乙两组员工受训的平均时间分别为1t 、2t ，则
1205251010155201060
t ?+?+?+?=
=（小时） ------------------------2分 2841682012161610.960t ?+?+?+?=≈（小时）------------------------4分 据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时，因1010.9<，据此可判断培训方式一比方式二效率更高；----------------------------6分
（2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人,
则这6人中来自甲组的人数为：
610230?=，----------------------7分 来自乙组的人数为：620430
?=，------------------------------8分 记来自甲组的2人为：a b 、；来自乙组的4人为：c d e f 、、、，则从这6人中随机抽取
2人的不同方法数有：(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e a f ，(,),(,),(,),(,)b c b d b e b f ，(,),(,),(,)c d c e c f ，(,),(,),(,)d e d f e f ，共15种，-----------------10分
其中至少有1人来自甲组的有：(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e a f ，(,),(,),(,),(,),b c b d b e b f
共9种，故所求的概率93155
P ==.---------------------------12分 20.解：（1）依题意知(,0)A a ,(0,)B b -,---------------------------1分
∵△AOB 为直角三角形，∴过A 、O 、B 三点的圆的圆心为斜边AB 的中点，
∴
1222
a b =-=-，即1a b ==，----------------3分 ∴椭圆的方程为2
213
x y +=.--------------------------4分 （2）由（1）知(0,1)B -，依题意知直线BN 的斜率存在且小于0，
设直线BN 的方程为1(0)y kx k =-<，
则直线BM 的方程为：11y x k
=--，----------------------5分 由2233,1.
x y y kx ?+=?=-?消去y 得22(13)60k x kx +-=，--------------6分
解得：2613N k x k =+，1N N y kx =-,----------------------7分
∴||BN =|N x ==
∴|||N B BN x x =-26||13k k =+,---------------8分 【注：学生直接代入弦长公式不扣分！】
在11y x k
=--中，令0y =得x k =-，即(,0)M k -
∴||BM =----------------------------9分
在Rt △MBN 中，∵∠BMN=60°，∴|||BN BM =
,
26||3k k
=23|10k k -+=，
解得||3k =，∵0k <，∴3
k =-，--------------11分
∴点M 的坐标为3
.-----------------------------12分 21．解：（1）()()()
21x f x x e '=--，-------------------1分 令()0f x '<，得2010x x e -?或2010x x e ->??-
，------------------2分 由20
10x x e -?得02x <<，而不等式组20
10x x e ->??-
∴函数()f x 的单调递减区间为()0,2；-------------------4分
（2）依题意得()()()()()
221x g x f x ax x x e ax ''=+-=-+-，显然()20g '=，---5分
记()1x h x e ax =+-，x R ∈，则()00h =， 当0a =时，()110h e =->；当0a ≠时，1
10a h e a ??=> ???
； 由题意知，为使2x =是函数()g x 唯一的极值点，则必须()0h x ≥在R 上恒成立；----------7分
只须()min 0h x ≥，因'()x h x e a =+， ①当0a ≥时，'()0x
h x e a =+>，即函数()h x 在R 上单调递增， 而()1110h a e
-=
--<，与题意不符； ----------------8分 ②当0a ，得()ln x a >-，即()h x 在()()ln ,a -+∞上单调递增，
故()()()min ln h x h a =-， -------------------10分
若1a =-，则()()min ()00h x h x h ≥==，符合题意；-------------------11分
若1a ≠-，则()()()min 00()ln h h x h a =≥=-，不合题意；
综上所述，1a =-．-------------------------12分
【或由()min 0h x ≥，及(0)0h =，得()min (0)h h x =，
∴()ln 0a -=，解得1a =-． -------------------12分】
22. 解：（1）由曲线C 的参数方程，得普通方程为24y x =，
由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得224sin cos ρθρθ=，
所以曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=，[或24sin cos θρθ
=] ---------------3分 2l 的极坐标方程为2πθα=+
；--------------------5分 （2）依题意设(,),(,)2A B A B πραρα+，则由（1）可得24sin cos A αρα
=， 同理得24sin()2cos ()2
B παρπα+=+，即24cos sin B αρα=，-------------7分 ∴11||||||22OAB A B S OA OB ρρ?=?=?228|sin cos |cos sin αααα
?=? ∵02πα<<∴0απ<<，∴8cos sin OAB S αα?=?16sin 2α
=16≥， ----------------9分 △OAB 的面积的最小值为16，此时sin 21α=， 得22πα=，∴4
πα=． ------------------------------------------10分 23.解：（1）①当2x <-时，()22(2)62f x x x x =-+++=+<，
解得4x <-，--------------------------------------------1分
②当22x -≤
x -<<，----------------------------2分 ③当2x ≥时，()22(2)62f x x x x =--+=--<
解得2x ≥，----------------------------------3分
上知，不等式()2f x <>
-∞--+∞；----------------5分 （2）解法1：当[2,2]x ∈-时，()2(2)(1)2(1)f x x a x a x a =--+=-++-，------------6分 设()()g x f x x =-，则[2,2]x ?∈-，()(2)2(1)0g x a x a =-++-≥恒成立，
只需(2)0(2)0
g g -≥??≥?，------------------------------8分 即60420a ≥??--≥?，解得12a ≤-----------------------10分
【解法2：当[2,2]x ∈-时，()2(2)f x x a x =--+，-----------------------6分
()f x x ≥，即2(2)x a x x --+≥，即(2)2(1)x a x +≤--------------------7分 ①当2x =-时，上式恒成立，a R ∈；--------------------------8分
②当(2,2]x ∈-时，得2(1)2x a x -≤+622x =-++恒成立， 只需min 61(2)2
2a x ≤-+=-+， 综上知，12
a ≤-．-----------------------10分】
