2012 -2013学年第一学期
一、填空题，在题中“ ”处填上正确答案（本大题共7个小题，每小题3分，共21分）．
1、设f(x)在x0处可导，且x0是f(x)的极值点，则f′(x0)= 2、比较定积分值的大小，∫lnxdx
12
∫
2
1
(lnx)2dx (>、< 或 =)．
3、函数f(x)在闭区间[a,b]上连续是f(x)在[a,b]上可积的条件（必要、 充分、 充要）．
sinx
4、设函数f(x)=，则函数f(x)的微分df(x)=
x5、广义积分∫
π
π
+∞0
xe 2xdx= ． sinx
)dx= ． 1+x2
6、定积分∫(x+
7、设函数y=f(x)二阶可导，并且f′(x0)=f′′(x0)+1=0，则函数在点x0处取得极 值（大、 小）．
二、计算题（本大题共6个小题，每小题6分，共36分）．
1
1、设函数y=ln(x+arctan+e2，求y′．
x
∫2、求极限 lim
x→0
x0
tsintdt
．
x sinx
3、求不定积分
．
1
]dx，其中a,b>0是常数．
xln(bx)
4、计算不定积分
π
∫[sinax+
5、求定积分
∫
20
x(1 sinx)dx．
6、
计算定积分
∫
．
三、解答题（本题25分）
1、（12分）设函数f(x)=x3 5x2+3x+5，试解答下列问题：
（1）确定函数f(x)的单调区间；（2）求函数f(x)的极值；（3）求f(x)的拐点及凹凸区间.
2、（7分）设f(x)=x,g(x)=elnx，试比较当0<x<e时，f(x)与g(x) 的大小．
3、（6分）设f(x)是连续函数，且∫f(t)dt=2x2+5x+3，求函数f(x)
a
x
和常数a．
四、应用题（本题18分）
1、（8分）有一处果树园，每亩地种a棵树，平均每棵树产b个果子，若每亩地多种一棵树，则平均每棵树少产c个果子，问每亩地多种多少棵树果子的产量最高，最高产量是多少？
2、（10分）求由曲线xy=1与直线y=x及x=2和x轴所围图形的面积，并求此图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
2012 -201学年第 I学期参考答案
xcosx sinx1
， 5、 ， 6、0，7、大． dx
x24
1 1 ++ 2 1二、1
、y′=1 x 1+
2x
2 1
=． ==21+x
一、1、0， 2、>， 3、 充分， 4、
2cosx xsinxsinx+xcosxxsinx
=lim=2 =lim
x→0x→0x sinxx→01 cosxx→0sinxcosx
1t
3、令1+e2x=t2，则x=ln(t2 1),dx=2dt．
t 12
1t11 11
dt=∫2dt=∫
原式=∫ 2 dt
tt 1t 12 t 1t+1
∫2、 lim
x
tsintdt
=lim
1t 11=ln+C=ln+C．
2t+121
dx 4、原式 =∫sinaxdx+∫
xln(bx)
111
d(lnbx) = cosax+ln|ln(bx)|+C． =∫sinaxd(ax)+∫
aln(bx)a
π
π2
5、原式 =∫xdx ∫
20
12 2
xsinxdx= x +∫2xdcosx
2 0
π
π
π
π
=
π2
8
+[xcosx]02 ∫2cosxdx =
π2
8
[sinx]02=
π
π2
8
1．
6
、令x=
t，则x=
tdt． 原式=π
π
2tdt
323 1 23 π 3π
． =∫(1+cos2t)dt= t+sin2t = +0 =
202 2224 0
三、1、（12分）因为f′(x)=3x2 10x+3=(3x 1)(x 3)，f′′(x)=6x 10=2(3x 5)
15
.所以由f′(x)=0得x1=,x2=3
；由f′′(x)=0得x=.
f(x)
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
11
由上表可知：(1) 函数f(x)在( ∞,]和[3,+∞)的单调递增，在[,3]上单调递
33
11148
减；（2）函数f(x)在x=处取得极大值f(=，在x=3处取得极小值
3273
f(3)= 4.
520
由上表可知：（3）函数f(x)在( ∞,]上凸，在[,+∞)上凹，拐点为(,.
33327
ex e
2、（7分）设F(x)=f(x) g(x)=x elnx，则F′(x)=1 =．
xx
当0<x<e时，F′(x)>0. 即F(x)在0<x<e时单调增加．
故F(x)<F(0)，而F(e)=e e=0，所以F(x)<0，因此，f(x)<g(x)． 3、（6分）因为∫f(t)dt=2x2+5x+3，所以两边关于x求导得：f(x)=4x+5.
a
22
2t+5t=2x+5x 2a 5a； 因此，∫f(t)dt=∫(4t+5)dt=
x
xx
2
x
aaa
3
所以2x2+5x 2a2 5a=2x2+5x+3. 2a2+5a+3=0，故a1= 1,a2= ．
2
四、应用题（本题18分）
1、（8分）设每亩地多种x棵树产量最高，则总产量为
y=(b cx)(x+a)= cx2+(b ac)x+ab.因为y′= 2cx+(b ac)，
b acb ac
所以，由y′=0得：x=.又y′′= c<0，所以，多种棵树产量最高，
2c2cb acb acb+acb+ac(b+ac)2
+a)= =. 最高产量为：y=(b
22c22c4c
xy=1
2、（10分）由 得交点：(1,1),( 1, 1).所以，所求图形的面积为：
yx=
112 1
A=∫xdx+∫= x2 +[ln|x|]1=+ln2.
01x2 2 0
绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为：
1
2
1
Vx=π∫xdx+π∫
1
2
2
1
15 13 π ππ
=+ = +=πxππ． 2 x6 3 0 x 132
12
