山东省潍坊三县2011届高三阶段性教学质量检测

阶段性教学质量检测试题

高三数学（理科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项 中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填在答题卷的答题卡内） 1.

已知集合M {x|A.（1，2）

2

＜1},N {y|y x

B. [0，2]

，则N ðRM等于

C. D. [1，2]

2.已知条件p:x≤1，条件q:A.充分不必要条件 C.充要条件

1

1，则p是 q成立的 x

B.必要不充分条件

D.既非充分也非必要条件

3.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画,出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 A.

3 B. 23

C. 4 D. 22

4.如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线f x sinxx 0, 及直线

x a a 0, 与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影

部分的概率为

1

，则a的值是 4

A .

7 2 3 5 B. C . D. 12346

5．设f'(x)是函数f(x)的导函数，将y f(x)和y f'(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是

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6．已知各项均不为零的数列{an},定义向量cn (an,an 1)，bn (n,n 1)，n N*. 下列命题中真命题是

A. 若 n N*总有cn//bn成立，则数列{an}是等差数列 B. 若 n N*总有cn//bn成立，则数列{an}是等比数列 C. 若 n N*总有cn bn成立，则数列{an}是等差数列 D. 若 n N*总有cn bn成立，则数列{an}是等比数列

7．已知m,n R，、、是共起点的向量，、不共线， m n，则、、

的终点共线的充分必要条件是

A．m n 1 B．m n 0 8.C．m n 1 D．m n 1

110

)的展开式中含x的正整数指数幂的项数是 3x

B．2

C．4

D．6

A．0

9.已知简谐振动f(x) Asin( x )(

2

)的振幅为

3

，图象上相邻最高点与最低点之2

间的距离为5，且过点(0,)，则该简谐振动的频率与初相分别为

34

1 1 1

A．, B．, C．, D． ,

668663 46

10．设奇函数f(x)在(0, )上是增函数，且f(1) 0，则不等式x[f(x) f( x)] 0的解集为

A．{x| 1 x 0,或x 1} C．{x|x 1,或x 1}

B．{x|x 1,或0 x 1} D．{x| 1 x 0,或0 x 1}

11.设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公

2

e12 e2

共点，且满足PF的值为 1 PF2 0，则2

(e1e2)

A．

1 2

3

B．1

2

C．2 D．不确定

12.已知函数f(x) x ax bx c，在定义域x [-2，2]上表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为 1．有以下命题：

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①f x 是奇函数；②若f x 在 s,t 内递减，则t s的最大值为4；③f x 的最大值为

M，最小值为m，则M m 0； ④若对 x 2,2 ，k≤f (x)恒成立，则k的最大

值为2．其中正确命题的个数为

A .1个 B. 2个 C .3个 D. 4个

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷中对应题号后的

横线上）

13.若下框图所给的程序运行结果为S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是 .

14.已知

2

3 123

,cos( ) ,sin( ) ,则sin cos 的值4135

x y≥3

xy

15设x,y满足约束条件 x y≥ 1，若目标函数z (a 0,b 0)的最大值为10，

ab 2x y≤3

则5a 4b的最小值为 .

16．如图，在透明塑料制成的长方体ABCD A1BC11D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法： ①水的部分始终呈棱柱状；

②水面四边形EFGH的面积不改变； ③棱A1D1始终与水面EFGH平行； ④当E AA1时，AE BF是定值.

其中正确说法是 .

三、解答题（本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）

已知向量m

1,cos x ,n sin x 0 ，函数f x m n，且f x 图象上一个最

7

高点的坐标为 ,2 ，与之相邻的一个最低点的坐标为 , 2 .

12 12

（1）求f x 的解析式；

（2）在△ABC中，a,b,c是角A、B、C所对的边，且满足a2 c2 b2 ac，求角B的大

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小以及f A 的取值范围.

18. （本小题满分12分）

上海世博会深圳馆1号作品《大芬丽莎》是由大芬村507名画师集体创作的999幅 油画组合而成的世界名画《蒙娜丽莎》，因其诞生于大芬村，因此被命名为《大芬丽莎》．某部门从参加创作的507名画师中随机抽出100名画师，测得画师年龄情况如下表所示．

（1）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图， 再根据频率分布直方图估计这507名画师中年龄在 30,35 岁的人数（结果取整数）；

（2）在抽出的100名画师中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加上海世博会深 圳馆志愿者活动，其中选取2名画师担任解说员工作，记这2名画师中“年龄低于30岁”的人数为 ，求 的分布列及数学期望．

19. （本小题满分12分）

已知各项均为正数的数列 an 满足an 1 2an anan 1, 且a2 a4 2a3 4,

2

2

其中n N*．

（I）求数列 an 的通项公式;

（II）设数列 bn 的前n项和为Tn,令bn an,其中n N,试比较

2

Tn 1 12

与

4Tn

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2log2bn 1 2

的大小,并加以证明．

2log2bn 1

20.（本题满分12分）

如图,在Rt ABC中， ACB 90， B 30，D、E分别为AB、CD的中点，AE的延长线交CB于F。现将 ACD沿CD折起，折成二面角A CD B，连接AF.

（I）求证：平面AEF 平面CBD；

（II）当AC BD时，求二面角A CD B大小的余弦值.

21.（本小题满分12分）

已知实轴长为2a，虚轴长为2b的双曲线S的焦点在x轴上，直线y 3x是双曲线

S的一条渐近线，且原点O、点A(a,0)和点B(0 ,b）)使等式 2 24 2 2

OA OB OA OA成立.

3

（I）求双曲线S的方程；

（II）若双曲线S上存在两个点关于直线l:y kx 4对称，求实数k的取值范围.

22.（本小题满分14分）

已知f(x) xlnx,g(x) x ax 3. （1）求函数f(x)在[t,t 2](t＞0)上的最小值；

（2）对一切x (0, ),2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；

2

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（3）证明：对一切x (0, )，都有lnx＞

12 成立. exex

高三数学（理科）参考答案

一选择题 BCABD ADBCA CB 二填空题 13．k 8；

三、解答题

15.8； 16.①③④

117.解：（1

）f(x) m n sin x x 2(sin x x)

2 2sin( x ). --------------------------------------2分

3

f x 图象上一个最高点的坐标为

7

,2 ，与之相邻的一个最低点的坐标为 , 2 . 12 12

T7 2

， T ，于是 2. ---------------5分 212122T

所以f(x) 2sin(2x

3

). ---------------------------------6分

a2 c2 b21

-----------------------------------7分 （2） a c b ac， cosB

2ac2

2

2

2

又0 B ， B

3

. f(A) 2sin(2A

3

)--------------------------------------------8分

B

3

0 A

2 5

.于是 2A ， 3333

sin(2A ) 1,1 . ------------------------------------------------------------10分

3

所以f(A) 2,2 .------------------------------------------------------------12分 18.解：（1）①处填20，②处填0.350；507名画师中年龄在 30,35 的人数为

0.35 507 177人，补全频率分布直方图如图所示 ６分

（2）用分层抽样的方法，从中选取20人,则其中“年龄低于30岁”的有5人， “年龄不低于30岁”的有15人.故ξ的可能取值为0， 1，2；

2C152142

.

P( 0) 2

38C2076

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11C15C53015

. P( 1) 2

7638C202

C541

P 2 2 .

C207619

所以ξ

所以E 0

211511

1 2 12分 3838192.

22

a 2a anan 1,即(an 1 an)(2an an 1) 0 n 1n19．解：（Ⅰ)因为

又an 0,所以有2an an 1 0,所以2an an 1

所以数列 an 是公比为2的等比数列. …………………………………………3分 由a2 a4 2a3 4得2a1 8a1 8a1 4, 解得a1 2.

故数列 an 的通项公式为an 2n(n N). ……………………………………….6分

（II）因bn an2 22n 4n，所以b1 4,

bn 1

4 bn

即数列 bn 是首项为4,公比是4的等比数列. 所以Tn

4n

(4 1)，……………………………………….……………………………………7分 3

Tn 1 124n 1 83

1 4(4n 1)4n 1 则4Tn

2log2bn 1 24n 67 1 4n 14n 1 . ……………………………………8分 又2log2bn 1

Tn 1 122log2bn 1 2374(3n 1 7 4n 1)

n 4Tn2log2bn 14 14n 1(4n 1)(4n 1)

法一：数学归纳法 猜想7 4

n 1

3n 1

①当n 1时，7 4 7 3 1 1 4,上面不等式显然成立；

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k 1

②假设当n k时，不等式7 4 3k 1成立

当n k 1时，7 4 4 7 4

kk 1

4(3k 1) 12k 4 3k 4 3(k 1) 1.

3n 1……………………………………….10分

综上①②对任意的n N均有7 4法二：二项式定理：因为n N,

n 1

01221n 1

所以7 4n 1 7 (1 3)n 1 7 (Cn) 1 Cn 1 3 Cn 1 3 Cn 1 3

7 (1 3n) 1 3n.

即对任意的n N均有7 4又4 1 0,4n 1 0,

n

n 1

3n 1. ……………………………………..10分

Tn 1 122log2bn 1 2

04Tn2log2bn 1

Tn 1 122log2bn 1 2

2log2bn 1. ………………………….12分 所以对任意的n N均有4Tn

20．证明：（I）在Rt ABC中,D为AB的中点,得AD CD DB，

又 B 30 ,得 ACD是正三角形,又E是CD的中点，得AF⊥CD. …………..3分

折起后，AE⊥CD，EF⊥CD，又AE∩EF=E，AE 平面AED，EF 平面AEF，

故CD⊥平面AEF，又CD 平面CDB，故平面AEF⊥平面CBD. 5分 （II）过点A作AH⊥EF，垂足H落在FE的延长线上.

因为CD⊥平面AEF，所以CD⊥AH，所以AH⊥平面CBD. 6分

以E为原点，EF所在直线为x轴，ED所在直线为y轴，过E与AH平行的直线为z轴 建立如图空间直角坐标系. …..……………………7分

由（I）可知∠AEF即为所求二面角的平面角，设为 ，并设AC= a，可得

aaC(0, ,0),D(0,,0),B,a,0),Acos ,0,sin ). 8分

22222

a故AC ( , , ),

2 aBD ( ,0),

2

AC BD, AC BD 0,3a2a2即

cos 0,

44

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得cos . 11分 故二面角A—CD—B大小的余弦值为 .

13

13

12分

x2y2

21．解：（I）根据题意设双曲线S的方程为2 2 1,

ab

b

3 a且 , 解方程组得a 1,b 3. a2 b2 4a2b2 3

2分

y2

1. 所求双曲线的方程为x 3

2

6分

（II）当k 0时，双曲线S上显然不存在两个点关于直线l:y kx 4对称； 7分 当k 0时，设又曲线S上的两点M、N关于直线l对称，l MN. 设直线MN的方程为y

1

x m,则M、N两点的坐标满足方程组 k

1 y x m 2222

, 消去y得(3k 1)x 2kmx (m 3)k 0. k

3x2 y2 3

22222

显然3k 1 0, (2km) 4(3k 1)[ (m 3)k] 0. 即km3k 1 0.

2

2

2

km x 0 3k2 1

设线段MN中点为D(x0,y0), 则 . 2

y 3km 03k2 1

3k2m k2m

2 4. D(x0,y0)在直线l:y kx 4上, 2

3k 13k 1

22 km 3k 1

. 即km 3k 1. 22

2

km 3k 1 0

10分

22

3k2 13k2 1

0或 1. km mk 0,解得m 0或m 1. 22

kk

2

2

2

111

k2 或k2 . 即|k| 或|k| ,且k 0.

3432

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k的取值范围是( ,

113

) ( ,0) (0,) (, ). 3223

1

e

12分

22.解：（1）由已知知函数f(x)的定义域为(0, )，f (x) lnx 1， 1分 当x (0,),f (x) 0,f(x)单调递减，当x (, ),f (x) 0,f(x)单调递增. 2分

1

e

1

，没有最小值； 3分 e

1111

②0 t t 2，即0 t 时，f(x)min f() ； 4分

eeee

11

③≤t t 2，即t≥时，f(x)在 t,t 2 上单调递增，

ee

①0 t t 2

f(x)min f(t) tlnt； 5分

1 1 ,0 t . ee 6分

1 tlnt,t≥

e

所以f(x)min

2

（2）2xlnx x ax 3，则a 2lnx x

3

， 7分 x

3(x 3)(x 1)

设h(x) 2lnx x (x 0)，则h (x) ， 2

xx

① x (0,1),h (x) 0,h(x)单调递减，

② x (1, ),h (x) 0,h(x)单调递增，

所以h(x)min h(1) 4，对一切x (0, ),2f(x) g(x)恒成立， 所以a h(x)min 4； 10分 （3）问题等价于证明xlnx

x2

(x (0, ))， 11分 exe

11

由（1）可知f(x) xlnx(x (0, ))的最小值是 ，当且仅当x 时取到，

ee

x21 x

设m(x) x (x (0, ))，则m (x) x，

eee

1

易知m(x)max m(1) ，当且仅当x 1时取到， 13分

e

12

从而对一切x (0, )，都有lnx x 成立 14分

eex

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