自学考试线性代数经管
类试卷及答案
SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
2015年4月高等教育自学考试全国统一命题考试
04184 线性代数（经管类）试卷
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个选项是符合题目要求的，请
将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1、设行列式D 1=2211b a b a ，D 2=2221113232a b a a b a --，则D 2=
【 】
2、若A=???? ??1x 1021，B =???
? ??y 24202，且2A =B ，则
【 】
=1，y=2 =2，y=1
=1，y=1 =2，y=2
3、已知A 是3阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A 等价的是
【 】
A.????? ??000000001
B.????? ??000010001
C.????? ??100000001
D.????? ??100010001
4、设2阶实对称矩阵A 的全部特征值味1，-1，-1，则齐次线性方程组
（E +A ）x =0的基础
解系所含解向量的个数为
【 】
5、矩阵???
? ??--3113有一个特征值为
【 】
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
6、设A 为3阶矩阵，且A =3，则13-A = .
7、设A =???
? ??5312，则A *= . 8、已知A =???? ??1201，B =???
? ??-211111，若矩阵X 满足AX =B ，则
X = .
9、若向量组=1α(1，2，1)T ，=2α(k-1，4，2)T
线性相关，则数k= .
10、若齐次线性方程组?????=-+=+-=++030202321
321321x x x x x x ax x x 有非零解，则数a = . 11、设向量=1α(1，-2，2)T ，=2α(2，0，-1)T ，则内积（21,αα）= .
12、向量空间V ={x=(x 1，x 2，0)T
|x 1，x 2R ∈}的维数为 . 13、与向量（1，0，1）T 和（1，1，0）T
均正交的一个单位向量为 .
14、矩阵???
? ??3221的两个特征值之积为 .
15、若实二次型f(x1，x2，x3)=212
3222212x x x a ax x +++正定，则数a 的取值范围是
.
三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）
16、计算行列式D =51111
4111
1311
112的值.
17、设2阶矩阵A 的行列式21=A ，求行列式*12)2(A A +-的值.
18、设矩阵A =????? ??---101
111
010
，B =????? ??--301521，矩阵X 满足X =AX +B ，求X .
19、求向量组T T T T )10,1,3(,)6,3,1(,)1,5,2(,)1,2,1(4321-=--===αααα的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出.
20、利用克拉默法则解线性方程组??
???=++=++=++23221232212
3221333c x c cx x b x b bx x a x a ax x ，其中c b a ,,两两互
不相同.
21、已知矩阵????? ??=1111311a a A 与????
? ??=b B 00010000相似，求数b a ,的值.
22、用正交变换化二次型212121455),(x x x x x x f ++=为标准型，并写出所作
的正交变换.
四、证明题（本题7分）
23、设A ，B 均为n 阶矩阵，且A =B +E ，B 2
=B ，证明A 可逆.
2015年4月高等教育自学考试全国统一命题考试
线性代数（经管类）试题答案及评分参考
（课程代码 04184）
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分类，共10分）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
6. 9
7.????
??--231
5
8.???
?
??--0311
11 9. 3
10. -2 11. 0
12. 2 13.()()T T
1,1,131
1,1,131---或
14. -1 15.a ＞1 三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）
16.解 D=4
02003201
1501
1315111141111121131------=-
（5分）
=744
02032
1
15=-- （9分）
17.解 由于2
1=A ，所以A 可逆，于是1*-=A A A （3分）
故1
1*12212)2(---+=+A A A A A
（6分） =29
2323
21
12
111=??? ??==+----A A A A
（9分）
18.解 由B AX X +=，化为()B X A E =-， （4分）
而?????
??
--=-201101011A E 可逆，且()????? ??--=--110
123
120311A E （7分）
故????
?
??--=????? ??--?????
??--=11021335021111012312031X （9分）
19.解 由于()????
? ??--→????? ??----→000075101711017510751
03121,,,4321αααα （5分）
所以向量组的秩为2，21,αα是一个极大线性无关组，并且有 214213717,511αααααα-=+-= （9分）
注：极大线性无关组不唯一。 20. 解 方程组的系数行列式 D=()()()b c a c a b c c b b a a ---=2
22
111
因为a,b,c 两两互不相同，所以0≠D ，故方程有唯一解。 （4分）
又03332222
22
1==c c c b b b a a a D ，03131312
222222==c c b b a a D ， D c c b b a a D 33131312
22
3==
（7分）
由克拉默法则得到方程组的解
33,0,0332211=======
D
D D D x D D x D D x （9分） 21.解 因为矩阵A 与B 相似，故
trB trA =且B A =, （6分）
即()?
??=-++=++01101312a b 所以a=1,b=4. （9分）
22. 解 二次型的矩阵???
? ??=5225A 由于()()73--=-λλλA E ，所以A 的特征值7,321==λλ
（4分）
对于特征值31=λ，由方程组()03=-x A E 得到A 属于特征值3
1=λ的一个单位特征向量???
? ??-=11221α 对于特征值,72=λ由方程组()07=-x A E 得到A 属于特征值72=λ的一个单位特征向量???
? ??=11222α.
得正交矩阵()???
? ??-==111122,21ααQ ，作正交变换Qy x =， 二次型化为标准形.732221y y f += （9
分）
四、证明题（本题7分） 23.证 因为E B A +=,所以B E A =-,又B B =2, 故()E A E A -=-2, (3分）
化简得 ,232E A A -=-于是()E E A A =??????--
321,故A 可逆。 （7分）
